Question

已知点P（1，m）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，F为焦点，且PF=3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先，确定参数P，然后，求解其方程；
（2）首先，对直线的斜率分为不存在和存在进行讨论，然后，确定

OA

•

OB

的取值情况．

解答： 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0），
∴焦点F（

p

2

，0）．
由抛物线定义得：|PF|=1+

p

2

=3，
解得p=3，
∴抛物线C的方程为y²=8x．
（2）（i）①当l的斜率不存在时，
此时直线方程为：x=4，
A（4，4

2

），B（4，-4

2

），
则

OA

•

OB

=-16．
②当l的斜率存在时，设
y=k（x-4），k≠0，
由

y2=8x y=k(x-4)

，可得
k²x²-（8k²+8）x+16k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

8k2+8

k2

，
x₁•x₂=16，
∴y₁•y₂=k²（x₁-4）（x₂-4）
=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]
=k²[16-

4(8k2+8)

k2

+16]
=-32，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=16-32=-16．

点评：本题综合考查了抛物线的标准方程的求解、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．