Question

国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（I）写出v关于w的函数关系式；
（II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（x≥1）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式；
（III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=

原有价值-现有价值

原有价值

×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由题意可设价值与重量的关系式为：y=kx²，再根据3克拉的价值是54000美元求得k值，即可求得此钻石的价值与重量的函数关系式；
（II）先求按重量比为1：x切割后的价值，可得价值损失，利用价值损失的百分率=

原有价值-现有价值

原有价值

×100%，可得y关于x的函数关系式；
（III）利用基本不等式，可证结论．

解答：（Ⅰ）解：依题意设v=kw²，又当w=3时，v=54000，∴k=6000，故v=kw²=6000w²（w＞0）；
（II）解：设这颗钻石的重量为a克拉，则按重量比为1：x切割后的价值为6000（

1

1+x

a）²+6000（

x

1+x

a）²，
价值损失为6000a²-[6000（

1

1+x

a）²+6000（

x

1+x

a）²]
∴价值损失的百分率为y={6000a2-[6000（

1

1+x

a）²+6000（

x

1+x

a）²]}÷6000a2×100%=

2x

(1+x)2

∴y=

2x

(1+x)2

（x≥1）；
（III）证明：由（II）y=

2x

(1+x)2

=

2

1 x +2+x

∵x≥1，∴

1

x

+x≥2
∴

2

1 x +2+x

≤

1

2

，等号当且仅当x=1时成立，此时y有最大值

1

2

．
故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．

点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，考查基本不等式求最值，确定函数解析式是关键．