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已知圆C经过点A(-2,0),B(0,2),且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P、Q两点.
(1)求圆C的方程;
(2)若
OP
.
OQ
=-2
,求实数k的值.
分析:(1)圆心在直线y=x上,设圆C(a,a)半径r,|AC|=|BC|=r,求得a,r,得到圆C的方程.
(2)
OP
.
OQ
=-2
可求得∠POQ,进而求出圆心到直l:kx-y+1=0的距离,再去求k.
解答:解:(I)设圆C(a,a)半径r.因为圆经过A(-2,0),B(0,2)
所以:|AC|=|BC|=r,解得a=0,r=2,
所以C的方程x2+y2=4.
(II)方法一:
因为,
OP
OQ
=2×2cos<
OP
, 
OQ
>=-2

所以,COS∠POQ=-
1
2
,∠POQ=120°,
所以圆心到直l:kx-y+1=0的距离d=1,d=
1
k2+1
,所以 k=0.
方法二:P(x1,y1),Q(x2,y2),因
y=kx+1
x2+y2=4
,代入消元(1+k2)x2+2kx-3=0.
由题意得△=4k2-4(1+k2)(-3)>0且x1+x2 =
-2k
1+k2
x1x2=
-3
1+k2

因为
OP
OQ
=x1x2+y1y2=-2

又y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
所以x1x2+y1y2=
-3
1+k2
+
-3k2
1+k2
+
-2k2
1+k2
+1=-2

化简得:-5k2-3+3(k2+1)=0,
所以:k2=0即k=0.
点评:本题考查求圆的方程的常用方法,(II)中用向量的数量积,求角,解三角形,点到直线的距离等知识.是中档题.
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3
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3
2
,1)
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5
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17
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