Question

已知圆C经过点A（1，-1），B（-2，0），C（

5

，1）直线l：mx-y+1-m=0
（1）求圆C的方程；
（2）求证：?m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（3）若直线l与圆C交于M、N两点，当|MN|=

17

时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）设圆E的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆C的方程；
（2）由题意直线l经过定点P（1，1），而点P恰好是圆内一点，因此可得直线l与圆C总有两个不同的交点；
（3）由点到直线的距离公式，算出圆心到直线l的距离d=

|m|

m2+1

，再由垂径定理结合弦长|MN|=

17

，建立关于m的方程，解之可得m的值．

解答：解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵A（1，-1），B（-2，0），C（

5

，1）在圆上
∴

1+1+D-E+F=0 4+0-2D+F=0 5+1+ 5 D+E+F=0

，解之得

D=0 E=-2 F=-4

因此，圆的方程为x²+y²-2y-4=0；…（4分）
（2）将圆化成标准方程，得x²+（y-1）²=5
∴圆心是（0，1），半径为r=

5

∵直线l：mx-y+1-m=0恒过点P（1，1），
而P点满足：1²+（1-1）²＜5，说明点P在圆内
∴?m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；…（8分）
（3）∵圆心（0，1），半径为r=

5

，
∴圆心到直线l的距离d=

|-m|

m2+1

=

|m|

m2+1

又∵|MN|=2

r2-d2

∴

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=2

5-( |m| m2+1 )2

，解之得m=

3

或-

3

．…（12分）

点评：本题求三角形的外接圆方程，并求外接圆与直线l的位置关系，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．