Question

3．已知函数f（x）=log_a（x²-（a-1）x+6）在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是{a|0＜a＜1或5≤a＜6}．

Answer 1

分析 令t=x²-（a-1）x+6，则t＞0，且f（x）=g（t）=log_at．由于二次函数t 的图象的对称轴方程为x=$\frac{a-1}{2}$，再分类讨论求得a的范围．

解答 解：令t=x²-（a-1）x+6，则t＞0，且f（x）=g（t）=log_at．
由于二次函数t 的图象的对称轴方程为x=$\frac{a-1}{2}$，
①当$\frac{a-1}{2}$≤1，即 a≤3时，函数t在区间[1，2]上单调递增，
若1＜a≤3，则函数g（t）=log_at 在区间[1，2]上单调递增，不满足条件．
若0＜a＜1，则函数g（t）=log_at 在区间[1，2]上单调递减，∴2²-2（a-1）+6＞0，求得a＜6，
综合可得0＜a＜1．
②当$\frac{a-1}{2}$≥2，即a≥5时，函数t在区间[1，2]上单调递减，函数g（t）=log_at 在区间[1，2]上单调递减，
∴2²-2（a-1）+6＞0，求得a＜6，
综合可得5≤a＜6．
综合①②可得0＜a＜1或5≤a＜6，
故答案为：{a|0＜a＜1或5≤a＜6}．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．