Question

【题目】设直线与抛物线相交于不同两点、， 为坐标原点.

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）若直线又与圆相切于点，且为线段的中点，求直线的方程；

（3）若，点在线段上，满足，求点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）2;（2）， ;（3）

【解析】试题分析：（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为，分与两种情况讨论，分析的取值，综合可得可取的值，将的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线，设、，将直线的方程与抛物线方程联立，结合，由根与系数的关系分析可得答案．

试题解析：（1）∵抛物线的方程为

∴抛物线的焦点到准线的距离为2

（2）设直线

当时， 和符合题意;

当时， 、的坐标满足方程组，

∴的两根为、， ，

∴，

∴线段的中点

∵，

∴，得

∴，得

∵

∴（舍去）

综上所述，直线的方程为： ，

（3）设直线，

、的坐标满足方程组，

∴的两根为、

， ，

∴，得或

时，直线AB过原点，所以；

时，直线AB过定点

设

∵，

∴（），

综上，点的轨迹方程为