【题目】如图,已知长方形中,
,
,M为DC的中点.将
沿
折起,使得平面
⊥平面
.
(1)求证:;
(2)若点是线段
上的一动点,问点
在何位置时,二面角
的余弦值为
.
【答案】(1)详见解析;(2)E为DB中点。
【解析】
试题分析:
(1)本问考查立体几何中的折叠问题,考查学生的读图能力及空间想象能力,由长方形ABCD中,
,所以
,同理可求出
,这样可以根据数量关系证出
,即
,由于折叠到平面ADM⊥平面ABCM,交线为AM,根据面面垂直的性质定理可知,由于
,且
平面ABM,所以
平面ADM,又因为
平面ADM,所以
;本问主要考查面面垂直性质定理的应用,注意定理的使用条件,注意证明的书写格式。
(2)根据平面ADM⊥平面ABCM,交线为AM,且AD=DM,可以取AM中点O,连接DO,则DO⊥AM,根据面面垂直性质定理可知,DO⊥平面ABCM,再取AB中点N,连接ON,则ON//BM,所以ON⊥AM,可以以O为原点,OA,ON,OD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,求出A,M,D,B点坐标,根据E在BD上,设,求出E点坐标,然后分别求出平面AMD和平面AME的法向量,从而将二面角的余弦值表示成两个法向量余弦值,求出
的值,得到E点的位置。
试题解析:
(1)证明:∵长方形ABCD中,AB=,AD=
,M为DC的中点,
∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM
∴AD⊥BM.
(2)建立如图所示的直角坐标系
设,则平面AMD的一个法向量
,
,
设平面AME的一个法向量 则
取y=1,得
所以,
因为,求得
,
所以E为BD的中点.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,经过椭圆的左顶点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
,交
轴于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点为线段
的中点,
,并且
交椭圆
于点
.
①是否存在定点,对于任意的
都有
?若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由;
②求的最小值.
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【题目】设甲、乙、丙三人进行围棋比赛,每局两人参加,没有平局。在一局比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为
,乙胜丙的概率为
.比赛顺序为:首先由甲和乙进行第一局的比赛,再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛,依此类推,在比赛中,有选手获胜满两局就取得比赛的胜利,比赛结束.
(1)求恰好进行了三局比赛,比赛就结束的概率;
(2)记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为,求
的概率分布列和数学期望
.
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【题目】已知圆C:和直线
:
,点P是圆C上的一动点,直线与x轴,y轴的交点分别为点A、B。
(1)求与圆C相切且平行直线的直线方程;
(2)求面积的最大值.
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【题目】某技术公司新开发了两种新产品,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种产品各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | |||||
产品 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
产品 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)试分别估计产品,产品
为正品的概率;
(2)生产一件产品,若是正品可盈利80元,次品则亏损10元;生产一件产品
,若是正品可盈利100元,次品则亏损20元,在(1)的前提下,记
为生产1件产品
和1件产品
所得的总利润,求随机变量
的分列和数学期望。
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【题目】已知曲线C上任一点P到点F(1,0)的距离比它到直线的距离少1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点作两条倾斜角互补的直线与曲线C分别交于点A、B,试问:直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】已知函数,
.
(1)若函数有且只有一个极值点,求实数
的取值范围;
(2)对于函数,
,
,若对于区间
上的任意一个
,都有
,则称函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”.已知
,
,问是否存在实数
,使得函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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