Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=60°．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）E是侧棱PB上一点，记

PE

=λ

PB

，是否存在实数λ，使PC⊥平面ADE？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC，分别求得AC，PC，PB，利用勾股定理证明出PC⊥BC，继而根据BC∥AD，证明出AD⊥PC．
（2）作DF⊥PC与F，作FE∥BC，交PB于E，连接AE，根据线面垂直的判定定理可证明出PC⊥平面ADE，求得PD，利用余弦定理求得cos∠PDC的值，则sin∠PDC可得，利用三角形面积公式求得三角形PDC的面积进而求得其高DF，利用勾股定理求得PF，最后于PB相比，即可求得PE；PB的值，则λ可得．

解答： （1）连接AC，
AC=

AB2+BC2-2AB•BCcos60°

=

16+4-2×4×2× 1 2

=2

3

，
∴PC=

AC2+PA2

=

12+9

=

21

，
∵PB=

AB2+PA2

=

16+9

=5，
∴PC²+BC²=PB²，
∴PC⊥BC，
∵BC∥AD，
∴AD⊥PC．
（2）存在，
作DF⊥PC与F，作FE∥BC，交PB于E，连接AE，
∵AD⊥PC，DF?平面ADE，AD?平面ADE，AD∩DF=D，
∴PC⊥平面ADE，
PD=

PA2+AD2

=

13

，PC=

21

，CD=AB=4，
∴在△PDC中，cos∠PDC=

13+16-21

2× 13 ×4

=

13

13

，
∴sin∠PDC=

1- 1 13

=

2 3

13

，
∴S_△PDC=

1

2

PD•DC•sin∠PDC=

1

2

13

×4×

2 3

13

=4

3

，
∴DF=

2S△PDC

PC

=

8 3

21

=

8 7

7

，
∴PF=

PD2-DF2

=

13- 64 7

=

3 21

7

，
∴

PF

PC

=

3 21

7× 21

=

3

7

，
∵EF∥BC，
∴

PE

PB

=

PF

PC

=

3

7

．
∴λ=

3

7

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．考查了学生空间观察的能力和逻辑思维能力．