Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中S_n=n（2n-1）a_n（n∈N^*），且a₁=

1

3

．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）猜想a_n的表达式，并加以证明．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

a1= 1 3 a1+a2=6a2 a1+a2+a3=15a3

由此能求出a₂，a₃的值．
（2）猜得an=

1

(2n-1)(2n+1)

，由已知条件推导出

an+1

an

=

2n-1

2n+3

，由此利用累乘法能证明an=

1

(2n-1)(2n+1)

．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，
其中S_n=n（2n-1）a_n（n∈N^*），且a₁=

1

3

，
∴

a1= 1 3 a1+a2=6a2 a1+a2+a3=15a3

，（2分）   
解得

a2= 1 15 a3= 1 35

．（4分）
（2）由a1=

1

1×3

，a2=

1

3×5

，a3=

1

5×7

，猜得an=

1

(2n-1)(2n+1)

．（6分）
由S_n=n（2n-1）a_n，得S_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1，（7分）
两式相减，得a_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1-n（2n-1）a_n，
∴

an+1

an

=

2n-1

2n+3

，（9分）
∴

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an-2

an-3

×

an-1

an-2

×

an

an-1

=

1

5

×

3

7

×

5

9

×…×

2n-7

2n-3

×

2n-5

2n-1

×

2n-3

2n+1

，（12分）
∴an=

1

(2n-1)(2n+1)

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的猜想与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．