Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆W：x2+y2=

2

3

的切线l与轨迹C相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过坐标原点O．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）当点P在线段AB上时，动点P的轨迹不存在；当点P在x轴上且在线段AB外时，P（±

2

，0）；当点P不在x轴上时，由余弦定理得动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，由此能求出动点P的轨迹C的方程．
（2）当直线l的斜率不存在或为0时，以PQ为直径的圆的方程经过坐标原点O；当直线l的斜率存在且不为零时．设直线l的方程为y=kx+m．由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．由此能求出以PQ为直径的圆经过坐标原点O．故以PQ为直径的圆经过坐标原点O．

解答： （1）解：①当点P在线段AB上时，
θ不存在或θ=

π

2

，均不满足题目条件；（1分）
②当点P在x轴上且在线段AB外时，
θ=0，设P（p，0），
由|PA|•|PB|cos²θ=1，得（p+1）（p-1）=1，
∴p=±

2

，∴P（±

2

，0）；（3分）
③当点P不在x轴上时，
在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4，∴|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，
即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上．
方程为：

x2

2

+y2=1．（x≠±

2

）
综合①②③可知：动点P的轨迹C的方程为：

x2

2

+y2=1．（6分）
（2）证明：①当直线l的斜率不存在时．
∵直线l与圆W相切，故切线方程为x=

6

3

或x=-

6

3

，
切线方程与

x2

2

+y2=1联立方程组，
求得P，Q为（

6

3

，±

6

3

）或P，Q为（-

6

3

，±

6

3

），
则以PQ为直径的圆的方程为(x±

6

3

)2+y2=

2

3

，经过坐标原点O．
②当直线l的斜率为零时．
与①类似，求得以PQ为直径的圆的方程为x2+(y±

6

3

)2=

2

3

，经过坐标原点O．（10分）
③当直线l的斜率存在且不为零时．设直线l的方程为y=kx+m．
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

-4km

2k2+1

，x₁•x₂=

2m2-2

2k2+1

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

2k2+1

．
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=

3m2-2k2-2

2k2+1

．①
∵直线l和圆W相切，
∴圆心到直线l的距离d=

|m|

1+k2

=

6

3

，整理得m²=

2

3

（1+k²）．②
将②式代入①式，得

OP

•

OQ

=0，显然以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
综上可知，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查圆经过坐标原点的证明，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．