Question

已知函数f（x）=log_a

1+x

x-1

．
（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；并给予证明．
（2）令函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]，-5≤g（x）≤5恒成立，试写出t与a的关系式，并求出最大实数t．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=

1+x

x-1

=1+

2

x-1

，显然函数t在（1，+∞）上的单调递减，讨论当a的范围，可得函数f（x）=log_a t在（1，+∞）上的单调性．
（2）由题意可得函数g（x）=-a(x-

4

a

)2+3+

16

a

的对称轴为x=

4

a

，且

4

a

∈（0，

1

2

]，故f（x）在（1，t]上是减函数，故g（t）＜g（x）≤g（1），由g（1）=11-a≤3＜5，结合题意可得g（t）=-5，化简可得t与a的关系式，再根据 a=

8t+8

t2

≥8，求得t的最大值．

解答： 解：（1）令t=

1+x

x-1

=1+

2

x-1

，显然函数t在（1，+∞）上的单调递减，
故当a＞1时，函数f（x）=log_a t在（1，+∞）上的单调递减，
当0＜a＜1时，函数f（x）=log_a t在（1，+∞）上的单调递增．
（2）∵f（x）=log_a

1+x

x-1

，∴a^f（x）=

x+1

x-1

，
∴函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8（x+1）-5=-a(x-

4

a

)2+3+

16

a

的对称轴为x=

4

a

，
∵a≥8时，∴

4

a

∈（0，

1

2

]，故f（x）在（1，t]上是减函数，故g（t）＜g（x）≤g（1）．
g（1）=11-a≤3＜5，
∵存在最大实数t，使得x∈（1，t]，-5≤g（x）≤5恒成立，∴g（t）=-at²+8t+3=-5，
化简可得 at²-8t-8=0，即 a=

8t+8

t2

．
再根据 a=

8t+8

t2

≥8，求得

1- 5

2

≤t≤

1+ 5

2

，故 tmax=

1+ 5

2

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，函数的最值及其几何意义，属于中档题．