Question

过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率为k的动直线l，与C交于A、B两点，抛物线C在A、B两点处的切线交于点P．
（1）M为上抛物线C异于A、B的一点，当k=0时，求直线AM、BM的斜率之差的绝对值；
（2）证明：点P在一条定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）k=0时，直线l的方程为y=

p

2

，则A（p，

p

2

），B（-p，

p

2

）设M为（m，

m2

2p

），则kAM=

m2 2p - p 2

m-p

，kBM=

m2 2p - p 2

m+p

，由此能求出直线AM、BM的斜率之差的绝对值．
（2）设直线AB为y=kx+

p

2

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由导数的几何意义求出A点处切线为2py-2x₁x+x₁²=0．B点处切线为2py-2x₂x+x₂²=0，联立求的P（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

），联立AB和抛物线，得x²-2pkx-p²=0，由此能证明P点在定直线y=-

p

2

上．

解答： （1）解：抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，

p

2

），
k=0时，直线l的方程为y=

p

2

，则A（p，

p

2

），B（-p，

p

2

）
设M为（m，

m2

2p

），则kAM=

m2 2p - p 2

m-p

，kBM=

m2 2p - p 2

m+p

，
∴直线AM、BM的斜率之差的绝对值为：
|

m2 2p - p 2

m+p

-

m2 2p - p 2

m-p

|
=|

-m2+p2

m2-p2

|
=1．
∴直线AM、BM的斜率之差的绝对值是1．
（2）证明：设直线AB为y=kx+

p

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵x²=2py，即y=

x2

2p

，∴y′=

x

p

，
∴A点处切线斜率为y'=

x1

p

，
则切线为2py-2x₁x+x₁²=0．
同理，B点处切线为2py-2x₂x+x₂²=0
联立求的P（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
联立AB和抛物线

y=kx+ p 2 x2=2py

，得x²-2pkx-p²=0，
x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²
则

x1x2

2p

=

-p2

2p

=-

p

2

，
∴P点的纵坐标为定值-

p

2

，
∴P点在定直线y=-

p

2

上．

点评：本题考查两直线斜率之差的绝对值的求法，考查点在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．