Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点．
（1）求直线AD和直线B₁C所成角的大小；
（2）求证：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立坐标系，设正方体的棱长为2，求出

DA

=（2，0，0），

B1C

=（-2，0，-2），利用向量的夹角公式，即可求直线AD和直线B₁C所成角的大小；
（2）求出平面EB₁D的法向量，平面B₁CD的法向量，证明其数量积为0，即可证明结论．

解答： （1）解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），
∴

DA

=（2，0，0），

B1C

=（-2，0，-2），
∴cos＜

DA

，

B1C

＞=|

4

2• 4+4

|=

2

2

，
∴直线AD和直线B₁C所成角为45°；
（2）证明：设平面EB₁D的法向量为

m

=（x，y，z），则
∵E（2，1，0），
∴

EB1

=（0，1，2）．
∵

ED

=（-2，-1，0），
∴

y+2z=0 -2x-y=0

，∴

m

=（1，-2，1）．
同理平面B₁CD的法向量为

n

=（1，0，-1），
∴

m

•

n

=1-1=0，
∴平面EB₁D⊥平面B₁CD．

点评：本题考查异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求向量是关键．