Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，D是A₁C的中点．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求证：平面ABB₁⊥平面BDC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥平面ABC，利用勾股定理，即可求BD的长；
（Ⅱ）证明BC⊥平面ABB₁，即可证明平面ABB₁⊥平面BDC．

解答： （Ⅰ）解：取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥平面ABC，
在Rt△BDO中，BO=

2

2

，DO=

1

2

，∴BD=

1 2 + 1 4

=

3

2

；
（Ⅱ）证明：∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵BB₁⊥BC，BB₁∩AB=B，
∴BC⊥平面ABB₁，
∵BC?平面BDC，
∴平面ABB₁⊥平面BDC．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面垂直的性质，属于中档题．