Question

22.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则.

Answer 1

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.

(Ⅰ)证法一：由题设及，，不妨设点，其中

，由于点在椭圆上，有，即

，

解得，从而得到，

直线的方程为，整理得

.

由题设，原点到直线的距离为，即

，

将代入原式并化简得，即.

证法二：同证法一，得到点的坐标为，

过点作，垂足为B，易知，故

由椭圆定义得，又，所以

，

解得，而，得，即.

(Ⅱ)解法一：圆上的任意点处的切线方程为.

当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点M处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组

的解.当时，由①式得

代入②式，得，即

，

于是，

.

若，则

.

所以，.由，得.在区间内此方程的解为.

当时，必有，同理求得在区间内的解为.

另一方面，当时，可推出，从而.

综上所述，使得所述命题成立.

解法二：圆x²+y²=t²上的任意点M(x₀,y₀)处的切线方程为x₀x+y₀y=t².

当t∈(0,b)时，圆x²+y²=t²上的任意点都在椭圆内，故此圆在点M处的切线必交椭圆于两个不同的点Q₁和Q₂,因此点Q₁(x₁,y₁),Q₂(x₂,y₂)的坐标是方程组

的解，由①式得

y₀y=t²-x₀x,                         ③

②式两端同乘以，得

　④

将③式代入④式得，，整理得

　

所以

再由①式得

x₀x=t²-y₀y,                        ⑤

②式两端同乘以，得

　⑥

将⑤式代入⑥式得，整理得

。

所以

.

 若则

.

所以，由，得3t⁴-2b²t²=0.在区间(0,b)内此方程的解为

。

另一方面，当时，可推出x₁x₁+y₁y₂=0,从而，

综上所述，使得所述命题成立。