Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=4，且向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线．
（1）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，求（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）若向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到；
（2）由向量垂直的条件：数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，解方程即可得到k．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×4×$\frac{1}{2}$=2，
（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=2$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×1-16+2=-12；
（2）由于（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
则（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即有k²$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=0，
则k²-16=0，
解得k=±4．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，属于基础题．