Question

已知函数f（x）=

bx+c

x+1

的图象过原点，且关于点（1，1）成中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}（n∈N^*）满足：an＞0，a1=1，an+1=[f(

an

)]2，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1），易知c=0，即f(x)=

bx

x+1

．又函数f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以b=1，f(x)=

x

x+1

（2）由题意an+1=[f(

an

)]2，开方取正得：

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，得出数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．通过数列{

1

an

}的通项公式求数列{a_n}的通项公式a_n

解答：解：（1）因为函数f(x)=

bx+c

x+1

的图象过原点，
即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=

bx

x+1

．
又函数f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的图象关于点（-1，1）成中心对称，
所以b=1，f(x)=

x

x+1

（2）由题意an+1=[f(

an

)]2，开方取正得：

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴

1

an

=1+（n-1）=n，
即

an

=

1

n

，
∴a_n=

1

n2

．

点评：本题是函数与数列的综合题．考查分式函数的性质，数列通项公式求解．考查转化构造，运算求解能力．