Question

定义在D上的函数，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
（1）当a=1，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若a∈[-

5

2

，-2]时，f（x）＞0恒成立，求x的取值范围；
（3）若f（x）在[0，+∞）是以3为上界函数，求a的范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数． 
（2）f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x=[（

1

2

）^x+

a

2

]²+1-

a2

4

≥1-

a2

4

，由f（x）＞0，得a＞2或a＜-2．由a∈[-

5

2

，-2]时，f（x）＞0恒成立，得当a=-2时，f（x）=[（

1

2

）^x-1]²＞0，由此能求出x的取值范围．
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，设t=（

1

2

）^x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，-（t+

4

t

）≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立，由此利用构造法能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
因为f（x）在（-∞，0）上递减，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数． 
（2）∵f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x
=[（

1

2

）^x+

a

2

]²+1-

a2

4

≥1-

a2

4

，
∴由f（x）＞0，得1-

a2

4

＞0，
解得a＞2或a＜-2．
∵a∈[-

5

2

，-2]时，f（x）＞0恒成立，
∴当a=-2时，
f（x）=[（

1

2

）^x-1]²＞0，
∴x≠0．
∴a∈[-

5

2

，-2]时，f（x）＞0恒成立，x的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
设t=（

1

2

）^x，t∈（0，1]，
由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，
∴-（t+

4

t

）≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立，
设h（t）=-t-

4

t

，m（t）=

2

t

-t，
则h（t）在（0，1]上递增；m（t）在（0，1]上递减，
所以h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；
m（t）在（0，1]上的最小值为m（1）=1，
所以实数a的取值范围为[-5，1]．

点评：本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．