Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体中， 为线段的中点，为线段上一动点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平面？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.

（2）.

（3）存在；理由见解析.

【解析】

（1）连结，借助于正方体的特征，结合线面垂直的判定和线面垂直的性质，得到；

（2）根据题中的条件，确定出对应的点的位置，将三棱锥的顶点和底面转换，利用体积相等，求得结果；

（3）借助于平行四边形找到平行线，利用线面平行的判定定理，证得结果.

(Ⅰ)连结.

在正方体中，

，，

所以.

因为为正方形，,

所以.

又因为,

所以.

因为，

所以.

(Ⅱ)过点作，交于点.

在正方体中，

因为，

又因为，

所以.

所以为三棱锥的高.

因为,

所以.

所以

（III）存在. 当为中点时，平面.

设为中点，连结.

因为、分别为、的中点,

所以.

因为，

所以.

所以.

在正方形中,

因为为中点,

所以，且.

所以四边形为平行四边形.

所以

因为,,

所以平面.