Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn=1-

1

2

bn．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断n≥4时

1

bn

与S_n+1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

（1）设a_n的首项为a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴

a2+a5=12 a2•a5=27

，∴

2a1+5d=12 (a1+d)(a1+4d)=27

∴a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
n=1时，b₁=T₁=1-

1

2

b₁，∴b₁=

2

3

n≥2时，Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
两式相减得b_n=

1

3

b_n-1数列是等比数列，
∴b_n=

2

3

•（

1

3

）^n-1；
（2）S_n=

n[1+(2n-1)]

2

=n²，∴S_n+1=（n+1）²，

1

bn

=

3n

2

n≥4时，

1

bn

＞S_n+1，证明如下：
下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．
②假设当n=k （k∈N^*，k≥4）时，

1

bk

＞S_k+1，即

3k

2

＞（k+1）²．
那么n=k+1时，

1

bk+1

=

3k+1

2

=3•

3k

2

＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1时，结论也成立．
由①②可知n∈N^*，n≥4时，

1

bn

＞S_n+1都成立．