【题目】在直三棱柱
中，
，
，
．
（1）求异面直线
与
所成角的正切值；
（2）求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
.
（1）利用空间向量法求出
与
所成角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案；
（2）利用空间向量法求出直线
与平面
所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.
在直三棱柱
中，
，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则点
、
、
、
、
、
.
（1）设异面直线与所成角为
，
，
，
，即
，
，
则
，因此，异面直线与所成角的正切值为；
（2）设直线与平面所成角为
，设平面的一个法向量为
，
，
，
，
由
，得
，取
，得
，
所以，平面的一个法向量为，
，
，则
.
因此，直线与平面所成角的余弦值为.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：
（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？
（2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；
（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为
，求的分布列及数学期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
的中点为
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
（
为参数），将曲线
上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的
后得到曲线
；以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线和直线的直角坐标方程；
（2）已知
，设直线与曲线交于不同的
、
两点，求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况
单位：百元
，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
组别 |
|
|
|
|
|
频数 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得样本的中位数精确到百元；
根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布
，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；
若年旅游消费支出在
百元以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：
，
；
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费
和年销售量
（
=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
|
|
|
|
|
|
|
46.6 | 56.3 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
表中
，
=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据
,
，……，
,其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
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