Question

已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=（　　）

• A、0
• B、1
• C、

  p

  q

• D、

  p-1

  q-1

Answer 1

分析：本题考查数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考查学生思维的灵活性．当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可．本题也体现了等比数列求和公式的逆用．

解答：解析：法一特殊值法，由题意取p=1，q=2，
则

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=

lim

n→∞

1 n

1 n2 + 2 n

=

lim

n→∞

n

1+2n

=

1

2

=

p

q

，可见应选C
法二∵1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)m-1=

1-(1+x)m

1-(1+x)

∴（1+x）^m-1=x[1+（1+x）+（1+x）²+（1+x）^m-1]
令x=

1

n

，m分别取p和q，则原式化为

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=

lim

n→∞

1 n [1+(1+ 1 n )+(1+ 1 n )2+(1+ 1 n )p-1]

1 n [1+(1+ 1 n )+(1+ 1 n )2+(1+ 1 n )q-1]

∵

lim

n→∞

(1+

1

n

)=1，

lim

n→∞

(1+

1

n

)2=1，…，

lim

n→∞

(1+

1

n

)p-1=1，
所以原式=

1+1+…+1

1+1+…+1

=

p

q

（分子、分母1的个数分别为p个、q个）
故选C．

点评：注意到本题的易错点：取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件，误选B；或不知变形而无法求解，或者认为是

0

0

型而误选B，看错项数而错选D．