Question

已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=（　　）

A．0

B．1

C． p q

D． p-1 q-1

Answer 1

解析：法一特殊值法，由题意取p=1，q=2，
则

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=

lim

n→∞

1 n

1 n2 + 2 n

=

lim

n→∞

n

1+2n

=

1

2

=

p

q

，可见应选C
法二∵1+(1+x)+(1+x)2++(1+x)m-1=

1-(1+x)m

1-(1+x)

∴（1+x）^m-1=x[1+（1+x）+（1+x）²+（1+x）^m-1]
令x=

1

n

，m分别取p和q，则原式化为

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=

lim

n→∞

1 n [1+(1+ 1 n )+(1+ 1 n )2+(1+ 1 n )p-1]

1 n [1+(1+ 1 n )+(1+ 1 n )2+(1+ 1 n )q-1]

∵

lim

n→∞

(1+

1

n

)=1，

lim

n→∞

(1+

1

n

)2=1，，

lim

n→∞

(1+

1

n

)p-1=1，
所以原式=

1+1++1

1+1++1

=

p

q

（分子、分母1的个数分别为p个、q个）
故选C．