Question

【题目】已知常数，数列的前项和为， 且 .

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若 ，且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；

（3）若 ，数列满足：对于任意给定的正整数 ，是否存在 ，使 ？若存在，求 的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）， （或 ）

【解析】

（Ⅰ）由题证明（常数）即可证明数列是等差数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，结合题意在对是奇数和是偶数分别进行讨论得答案．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，设对任意正整数，都存在正整数，使 ，得，进而得出答案．

（Ⅰ）∵ ∴， ，

∴

化简得：（常数），

∴ 数列是以 为首项，公差为的等差数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又∵ ， ，

∴ ，∴

①当是奇数时，∵ ，∴，

令 ，∴

∵

∴ ，且，∴ ；

② 当是偶数时，∵ ，∴ ，

令 ，∴

∵

∴ ，且，∴ ；

综上可得：实数的取值范围是 ．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

设对任意正整数，都存在正整数，使 ，

∴，∴

令，则 （或 ）

∴ （或）