【题目】已知椭圆C:,直线l:y=kx+b与椭圆C相交于A、B两点.
(1)如果k+b=﹣,求动直线l所过的定点;
(2)记椭圆C的上顶点为D,如果∠ADB=,证明动直线l过定点P(0,﹣
);
(3)如果b=﹣,点B关于y轴的对称点为B
,向直线AB
是过定点?如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由.
【答案】(1)定点(1,﹣);(2)见解析;(3)定点(0,﹣2).
【解析】
(1)把b=﹣k﹣代入直线方程可得定点坐标;
(2)根据∠ADB=,可得
,结合韦达定理可得
关系;
(3)结合对称性求出直线AB的方程,结合韦达定理,从而可得定点坐标.
(1)∵k+b=﹣,∴b=﹣k﹣
,∴y=kx﹣k﹣
=k(x﹣1)﹣
,
所以动直线l过定点(1,﹣).
(2)联立消去y得(1+2k2)x2+4kbx+2b2﹣2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=﹣ ,
∵∠ADB=,又D(0,1),
∴(x1,y1﹣1)(x2,y2﹣1)=x1x2+(y1﹣1)(y2﹣1)=x1x2+(kx1+b﹣1)(kx2+b﹣1)
=x1x2+k2x1x2+(b﹣1)2+k(b﹣1)(x1+x2)
=(1+k2)x1x2+k(b﹣1)(x1+x2)+(b﹣1)2
=(1+k2)×+k(b﹣1)×
+(b﹣1)2
=(b﹣1),
∴(b﹣1)=0,又b≠1(否则直线l过D),
∴b=﹣,所以动直线l过定点(0,﹣
).
(3)b=﹣,直线l为:y=kx﹣
,由(2)知x1+x2=
,
经过A(x1,y1),B′(﹣x2,y2)的直线方程为: ,
∴ ,
令x=0得y﹣ ,
∴y=kx1﹣ ,
所以直线AB′是过定点(0,﹣2).
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【题目】今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案,“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科,“1”是指在物理和历史中必选一科,“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科.为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况,进行了一次模拟选科. 已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生,其中男生1000人,女生800人. 按分层抽样的方法从中抽取了36个样本,统计知其中有17个男生选物理,6个女生选历史.
(I)根据所抽取的样本数据,填写答题卷中的列联表. 并根据统计量判断能否有
的把握认为选择物理还是历史与性别有关?
(II)在样本里选历史的人中任选4人,记选出4人中男生有人,女生有
人,求随机变量
的分布列和数学期望.(
的计算公式见下)
,临界值表:
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【题目】如图,设点,直线
,点
在直线
上移动,
是线段
与
轴的交点,
,
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)直线过点
,与轨迹
交于
两点,过点
的直线与直线
交于点
,求证:
轴.
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【题目】(本小题满分12分)如图,曲线由上半椭圆
和部分抛物线
连接而成,
的公共点为
,其中
的离心率为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)过点的直线
与
分别交于
(均异于点
),若
,求直线
的方程.
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【题目】《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为,
,且小正方形与大正方形面积之比为
,则
的值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1再除以2,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的,那么在两个判断框中,可以先后填入( )
A. 是偶数?,
? B.
是奇数?,
?
C. 是偶数?,
? D.
是奇数?,
?
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