Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求，的值；

（2）证明函数存在唯一的极大值点，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）求导，可得（1），（1），结合已知切线方程即可求得，的值；

（2）利用导数可得，，再构造新函数，利用导数求其最值即可得证．

（1）函数的定义域为，，

则（1），（1），

故曲线在点，（1）处的切线方程为，

又曲线在点，（1）处的切线方程为，

，；

（2）证明：由（1）知，，则，

令，则，易知在单调递减，

又，（1），

故存在，使得，

且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，

由于，（1），（2），

故存在，使得，

且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，

故函数存在唯一的极大值点，且，即，

则，

令，则，

故在上单调递增，

由于，故（2），即，

．