【题目】如图,在四棱锥PABCD-中,AB//CD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=2,PAD=60°,AB⊥平面PAD,点M在棱PC上.
(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(Ⅱ)若直线PA// 平面MBD,求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(I)通过线面垂直的性质得到,通过计算证明,由此证得平面,从而证得平面平面.(II)以为坐标原点建立空间直角坐标系,利用平面求得点的坐标,从而求得平面的法向量,再根据线面角的向量公式,求得线面角的正弦值.
解:(Ⅰ)因为AB⊥平面PAD,所以AB⊥DP,
又因为,AP=2,∠PAD=60°,
由,可得,
所以∠PDA=30°,所以∠APD=90°,即DP⊥AP,
因为,所以DP⊥平面PAB,
因为,所以平面PAB⊥平面PCD
(Ⅱ)由AB⊥平面PAD
以点A为坐标原点,AD所在的直线为y轴,AB所在的直线为z轴,如图所示建立空间直角坐标系.
其中,,,,.
从而,,,
设,从而得,
,
设平面MBD的法向量为,
若直线PA//平面MBD,满足,
即,
得,取,
且,
直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于:
.
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,过点A(-4,4)且焦点在x轴.
(1)求抛物线方程;
(2)直线l过定点B(-1,0)与该抛物线相交所得弦长为8,求直线l的方程.
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【题目】2020年寒假,因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习,为了研究学生网上学习的情况,某学校随机抽取名学生对线上教学进行调查,其中男生与女生的人数之比为,抽取的学生中男生有人对线上教学满意,女生中有名表示对线上教学不满意.
(1)完成列联表,并回答能否有的把握认为“对线上教学是否满意 与性别有关”;
态度 性别 | 满意 | 不满意 | 合计 |
男生 | |||
女生 | |||
合计 | 100 |
(2)从被调查的对线上教学满意的学生中,利用分层抽样抽取名学生,再在这名学生中抽取名学生,作线上学习的经验介绍,求其中抽取一名男生与一名女生的概率.
附:.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】设、为抛物线上的两点,与的中点的纵坐标为4,直线的斜率为.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点,、为抛物线(除原点外)上的不同两点,直线、的斜率分别为,,且满足,记抛物线在、处的切线交于点,线段的中点为,若,求的值.
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【题目】某校周五的课程表设计中,要求安排8节课(上午4节下午4节),分别安排语文数学英语物理化学生物政治历史各一节,其中生物只能安排在第一节或最后一节,数学和英语在安排时必须相邻(注:上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻),则周五的课程顺序的编排方法共有( ).
A.4800种B.2400种C.1200种D.240种
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【题目】如图,在中国象棋规则下,点A处的“兵”可通过某条路径到达点B(兵在过河前每步只能走到其前方相邻的交叉点处,过河之后每步则可走到前方、左方、右方相邻的交叉点处,但不能后退,“河”是指图棋盘中第5、6条横线之间的部分).在兵的行进过程中,若棋盘的每个交叉点均不被兵重复走到,则称此路径为“无重复路径”.那么,不同的无重复路径的条数为__________。
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【题目】已知在平面直角坐标系中,直线(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设点直角坐标为,直线与曲线交于,两点,求的值.
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