Question

【题目】如图，四面体中，是边长为2的正三角形，是直角三角形，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若过的平面交的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据题意得≌，进而得，取的中点，连接，.易得和，从而得平面，即可得到平面平面.

（2）根据（1）可建立空间直接坐标系，用空间向量求二面角的余弦值即可.

解：（1）由题设易知：≌，从而

又是直角三角形，所以且

取的中点，连接，，则且，

又由于是正三角形，故且

又.

又因为，平面，

平面，又平面

所以平面平面；.

（2）由题设及（1）知，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

故

设是平面DAE的法向量，则即，

可取.

设是平面AEC的法向量，则即，可取.

则，

因为二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.