Question

【题目】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=2，AC=1，，．

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）在线段BC1上是否存在一点D，使得AD⊥A1B？若存在求出的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在，．

【解析】

（1）由已知先证明AA1⊥AC，利用面面垂直的性质可证AA1⊥平面ABC．

（2）假设存在．设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，且（λ∈[0，1]），求出，解得λ的值，即可求解．

解：（1）因为侧面AA1C1C是矩形，

所以AA1⊥AC，

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，

所以AA1⊥平面ABC．

（2）由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB．

由题意知AB=2，AC=1，，

所以AB⊥AC，

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），B（0，2，0），，，

假设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，其中，，，

设（λ∈[0，1]），即（x1，y1-2，z1）═，

解得x1=λ，y1=2-2λ，，

所以．

若在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，

则，即，

得4-6λ=0，解得，

因为，

所以在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，此时．