【题目】如图，直线
与抛物线
（常数
）相交于不同的两点
、
，且
（
为定值），线段
的中点为
，与直线
平行的切线的切点为
（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．
（1）用
、
表示出点、点的坐标，并证明
垂直于
轴；
（2）求
的面积，证明的面积与、无关，只与有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连
、
，再作与、平行的切线，切点分别为
、
，小张马上写出了
、
的面积，由此小张求出了直线
与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
【答案】（1）
，
，（2）
，（3）能.
【解析】
试题（1）因为D点为直线与抛物线的交点A，B中点，所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由
，得
，
，点.因为C点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别式为零进行求解，即由
,得
，得.由于
、
的横坐标相同，
垂直于
轴．（2）求三角形面积，必须观察结构，合理选用底边与高.本题将CD选为底,则
为高，利用（1）求出
，则
，（3）对题目“马上”的理解，就是进行类比，直接写出结论. 由（1）知垂直于轴，
，由（2）可得
、
的面积只与
有关，将
中的
换成，可得
．而这一过程可无限类比下去,依次得到一列数：
，
，这些数构成一个公比为
无穷等比数列，其和可看成直线
与抛物线围成的面积，即
试题解析：（1）由，得，
点2分
设切线方程为
，由,得，
，切点的横坐标为
，得4分
由于、的横坐标相同，垂直于轴． 6分
（2）
，
． 8分
． 11分
的面积与
、
无关，只与有关． 12分
（本小题也可以求
，切点到直线的距离
，相应给分）
（3）由（1）知垂直于轴，，由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得． 14分
记，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段
所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列
的无穷项和，此数列公比为．
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【题目】如图，已知抛物线
的焦点为
，准线为
，过点的直线交抛物线于
，
两点，点在准线上的投影为
，点
是抛物线上一点，且满足
.
（1）若点坐标是
，求线段
中点
的坐标；
（2）求
面积的最小值及此时直线的方程.
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【题目】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=2，AC=1，
，
．
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）在线段BC1上是否存在一点D，使得AD⊥A1B？若存在求出
的值，若不存在请说明理由．
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【题目】如图，CM，CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，记BC=a，AC=b，AB=c（单位：百米）
（1）若a，b，c成等差数列，且公差为4，求b的值；
（2）已知AB=12，记∠ABC=θ，试用θ表示观景路线A-C-B的长，并求观景路线A-C-B长的最大值．
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【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系（
），点
为曲线上的动点，点
在线段
的延长线上，且满足
，点的轨迹为
。
（Ⅰ）求
的极坐标方程；
（Ⅱ）设点
的极坐标为
，求
面积的最小值。
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【题目】如图，从参加环保知识竞赛的1200名学生中抽出
名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）
这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率。（分及以上为及格）
（3）若准备取成绩最好的300名发奖，则获奖的最低分数约为多少？
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【题目】如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有
个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为
，则
（ ）
A. 33B. 31C. 17D. 15
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