【题目】如图，已知抛物线
的焦点为
，准线为
，过点的直线交抛物线于
，
两点，点在准线上的投影为
，点
是抛物线上一点，且满足
.
（1）若点坐标是
，求线段
中点
的坐标；
（2）求
面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）
；（2）最小值是16，此时直线
的方程是
或
.
【解析】
（1）设
，
，
,则
，由题意得
，直线
：
，与抛物线方程
联立，则可得
的值，再根据
，
均在抛物线上，代入并作差，可得的中点坐标与斜率的关系，再利用
，求得线段中点
的坐标.
（2）将直线的方程用
表示出来，并与抛物线方程联立，再根据弦长公式求出
，利用点到直线的距离公式，求出点
到直线的距离为
，运用
，结合均值不等式可求得
面积的最小值及此时直线的方程.
解：（1）设，，,则，由题意得，
直线：，又，得
，则
，
又
，得
，
得
，又得
，即
解得
，即
，
由
，得
，
，
故
，
，线段中点的坐标为.
（2）由（1）可知，，
设直线方程为
，即
由
得
，所以
点到直线的距离是
所以
而
等号成立当且
，解得
.
此时
，
或
，
.
因此面积的最小值是16，
此时直线的方程是或.
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【题目】已知在平面直角坐标系
中，直线
（
为参数），以原点为极点，
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线
的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）设点
直角坐标为
，直线与曲线交于
，
两点，求
的值.
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆
上，点
满足以
为直径的圆过椭圆的上顶点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线
过右焦点
与椭圆交于
两点，在
轴上是否存在点
使得
为定值？如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，说明理由.
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【题目】某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用
（单位：千万元）对年销售量
（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用
与年销售量
的数据，得到散点图如图所示：
（1）利用散点图判断，
和
（其中
为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.
（2）对数据作出如下处理：令
，
，得到相关统计量的值如下表：
根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；
（3）已知企业年利润
（单位：千万元）与
的关系为
（其中
），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
附：对于一组数据
，
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
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【题目】双曲线
的左焦点为
，点A的坐标为（0，1），点P为双曲线右支上的动点，且△APF1周长的最小值为6，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.2D.
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【题目】如图，直线
与抛物线
（常数
）相交于不同的两点
、
，且
（
为定值），线段
的中点为
，与直线
平行的切线的切点为
（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．
（1）用
、
表示出点、点的坐标，并证明
垂直于
轴；
（2）求
的面积，证明的面积与、无关，只与有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连
、
，再作与、平行的切线，切点分别为
、
，小张马上写出了
、
的面积，由此小张求出了直线
与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
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