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(2012•葫芦岛模拟)已知函数f(x)=
8
3
x3-2x2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)与g(x)有交点,且在交点处的切线均为直线y=3x,求a,b的值并证明:在公共定义域内恒有f(x)≥g(x).
(3)设A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2)),C(t,g(t))是y=g(x)图象上任意三点,且-
1
2
<x1<t<x2,求证:割线AC的斜率大于割线BC的斜率.
分析:(1)求导函数,计算判别式,利用导数的正负,即可确定函数的单调区间;
(2)求出g′(x),令g′(x)=3可得切点的坐标,可求a的值,利用f′(x)=3,可求b的值.构造函数φ(x)=f(x)-g(x),求导函数,确定函数的单调性,证明φ(x)≥0即可;
(3)KAC=
g(t)-g(x1)
t-x1
,KBC=
g(t)-g(x2)
t-x2
,构造h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1),证明h(t)>0,可得KAC
3+2t
1+2t
,同理可证:KBC
3+2t
1+2t
,从而可得结论.
解答:解:(1)f′(x)=8x2-4x+b,△=16-32b
①当△≤0即b≥
1
2
时,f′(x)≥0在R上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
②当△>0即b<
1
2
时,由f′(x)=0得x1=
1-
1-2b
4
,x2=
1+
1-2b
4

若f′(x)>0,则x<
1-
1-2b
4
或x>
1+
1-2b
4

若f′(x)>0,则
1-
1-2b
4
<x<
1+
1-2b
4

∴f(x)的单调增区间为:(-∞,
1-
1-2b
4
],[
1+
1-2b
4
,+∞);f(x) 的单调减区间为:[
1-
1-2b
4
1+
1-2b
4
]
综上所述:当b≥
1
2
时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当b<
1
2
时,f(x)的单调增区间为:(-∞,
1-
1-2b
4
],[
1+
1-2b
4
,+∞);f(x) 的单调减区间为:[
1-
1-2b
4
1+
1-2b
4
]
…(4分)
(2)g′(x)=
2
1+2x
+1=
3+2x
1+2x
,令g′(x)=3得:x=0,∴切点为(0,0),∴f(0)=0,∴a=0
∵f′(x)=8x2-4x+b|x=0=b=3,∴a=0,b=3         …(6分)
令φ(x)=f(x)-g(x),则φ′(x)=f′(x)-g′(x)=
16x3
1+2x

∴φ(x)在(-
1
2
,0)上单调递减,在(0,+∞)单调递增,
∴φ(x)≥φ(0)=f(0)-g(0)=0
∴φ(x)≥0   即:f(x)≥g(x)             …(8分)
(3)KAC=
g(t)-g(x1)
t-x1
,KBC=
g(t)-g(x2)
t-x2

令h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1
则h′(t)=2 (g(t)-g(x1))+(1+2t)g′(t)-2(t-x1)-(3+2t)=2 (g(t)-g(x1))-2(t-x1)=2(ln(1+2t)-ln(1+2x1))
∵y=ln(1+2x)在(-
1
2
,+∞)上单调递增,且t>x1
∴ln(1+2t)-ln(1+2x1)>0,∴h′(t)>0
∴h(t)在(x1,t)上单调递增,∴h(t)>h(x1)=0
∴(1+2t)(f(t)-f(x1))-(3+2t)(t-x1)>0
∴(1+2t)(f(t)-f(x1))>(3+2t)(t-x1
∵t-x1>0,1+2t>0,∴
g(t)-g(x1)
t-x1
3+2t
1+2t
  即KAC
3+2t
1+2t

同理可证:KBC
3+2t
1+2t

∴KAC>KBC即割线AC的斜率大于割线BC的斜率;…(12分)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,解题的关键是构造函数,利用导数求解.
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π
2
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x2
a2
+
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b2
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1
2
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|AF|
|BF|
的值等于(  )

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12
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