Question

（2012•葫芦岛模拟）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=

1

2

CD=a．
（1）求证：面PAD⊥面PAC；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值；
（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）证明面PAD⊥面PAC，利用面面垂直的判定，证明AC⊥平面PAD即可；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PBC、平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（3）设D到平面PBC的距离为d，则d=|

BD

|•|cos＜

BD

，

n1

＞|=

2

a，由此可得结论．

解答：（1）证明：设PA=AB=BC=

1

2

CD=a，连接AC，
在RT△ABC中，AC=

2

a，
在直角梯形ABCD中，AD=

2

a，
所以在△DAC中有：AD²+AC²=CD²，∴AC⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PA⊥AC
∵PA∩AD=A
∴AC⊥平面PAD
∵AC?平面PAC
∴面PAD⊥面PAC                 …（4分）
（2）解：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示坐标系，则：A（a，0，0），B（0，0，0），C（0，a，0），D（2a，a，0），P（a，0，a），

BP

=（a，0，a），

BC

=（0，a，0），

BD

=（2a，a，0）
设平面PBC的法向量为

n1

=（x′，y′，z′），平面PBD的法向量为

n2

=（x，y，z），
由

n1

⊥

BP

，

n1

⊥

BC

，

n2

⊥

BP

，

n2

⊥

BD

得：ax′+az′=0，y′=0，ax+az=0，2ax+ay=0
∴z′=-x′，y′=0，y=-2x，z=-x
∴取

n1

=（1，0，-1），

n2

=（1，-2，-1）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1×1+0×(-2)+(-1)×(-1)

2 × 6

=

3

3

设二面角D-PB-C的平面角θ，由图形易知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

3

…（8分）
（以B为原点，AD，AC所在直线为x轴y轴建立平面直角坐标系参照给分）
（3）解：由题意cos＜

BD

，

n1

＞=

2a×1+a×0+0×(-1)

5 × 2 a

=

10

5

，|

BD

|=

5

a
设D到平面PBC的距离为d，则d=|

BD

|•|cos＜

BD

，

n1

＞|=

2

a…（12分）
（利用体积法求得正确结果参照赋分）

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确运用向量知识解决立体几何问题．