Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左右两焦点为F₁，F₂，P是右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，OH=λOF1，λ∈[

1

9

，

1

2

]．
（1）当λ=

1

3

时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率e的取值范围；
（3）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的关系，把λ值代入求

b

a

的值，进而得到双曲线的渐近线方程；
（2）用λ表示离心率的平方，据λ的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，
（3）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程．

解答：解：由相似三角形知，

OH

PF2

=

OF1

PF1

，λ=

b2 a

2a+ b2 a

，
∴2a²λ+b²λ=b²，2a²λ=b²（1-λ），

b2

a2

=

2λ

1-λ

．
（1）当λ=

1

3

时，

b2

a2

=1，∴a=b，y=±x．
（2）e2=

c2

a2

=1+

b2

a2

=1+

2λ

1-λ

=1+

2[1-(1-λ)]

1-λ

=

2

1-λ

-1=-1-

2

λ-1

，在[

1

9

，

1

2

]上单调递增函数．
∴λ=

1

2

时，e²最大3，λ=

1

9

时，e²最小

5

4

，
∴

5

4

≤e2≤3，∴

5

2

≤e≤

3

．
（3）当e=

3

时，

c

a

=

3

，∴b² =2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圆的直径，圆心是PF₁的中点．再由弦的性质可得圆心还在线段F₁F₂的中垂线（y轴）上，
∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF₁=8．
又PF1=2a+

b2

a

=2a+

2a2

a

=4a，∴4a=8，a=2，c=2

3

，b=2

2

．
∴PF2=

b2

a

=2a=4，故圆心C（0，2），半径为4，
故所求的圆的方程为 x²+（y-2）²=16．

点评：本题考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系，属于中档题．