Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）ω（＞0）的最小正周期为π
（1）求ω的值
（2）设α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），f（

1

2

α+

π

6

）=

3

5

，f（

1

2

β+

5π

12

）=-

12

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题

分析：（1）利用最小正周期为π，与ω＞0，确定ω的值；
（2）利用f（

1

2

α+

π

6

）=

3

5

，f（

1

2

β+

5π

12

）=-

12

13

，求sinα、sinβ的值，再根据角的范围求cosα、cosβ的值，然后利用公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ计算．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）的最小正周期为π，且ω＞0
则2π=ω×π，
∴ω=2；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+

π

6

）
∴f（-

1

2

α+

π

6

）=sin[2（-

1

2

α+

π

6

）+

π

6

]=sin（

π

2

-α）=cosα=

3

5

．
∵α∈（0，

π

2

）
又f（

1

2

β+

5π

12

）=sin[2（

1

2

β+

5π

12

）+

π

6

]=sin（π+β）=-sinβ=-

12

13

，
∴sinβ=

12

13

，∵β∈（

π

2

，π），
∴cosβ=-

5

13

，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×（-

5

13

）+

3

5

×

12

13

=

16

65

．

点评：本题考查了三角函数的最小正周期，考查了两角和的正弦函数公式，要注意利用角的范围求角的三角函数值．