Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先连接AC，BD与AC交于点O，连接OF，根据ABCD是菱形和中位线定理得到OF∥PA，再由线面平行的判定定理可证明PA∥平面BFD．
（Ⅱ）先根据PA⊥平面ABCD，得到PA⊥AC，进而可得到OF⊥AC，再由ABCD是菱形得到AC⊥BD，根据线面垂直的判定定理得到AC⊥平面BDF，然后作OH⊥BF，垂足为H，连接CH可得到∠OHC为二面角C-BF-D的平面角，然后用PA表示出OC、OH的长度，即可得到二面角C-BF-D的正切值．

解答：证明：（Ⅰ）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．
∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．
∵OF?平面BFD，PA?平面BFD，∴PA∥平面BFD．

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．∵OF∥PA，∴OF⊥AC．
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．
作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，
所以∠OHC为二面角C-BF-D的平面角．
∵PA=AD=AC，
∴OF=

1

2

PA，BO=

3

2

PA，BF=

BO2+OF2

=PA．
在Rt△FOB中，OH=

OF?BO

BF

=

3

4

PA，
∴tan∠OHC=

OC

OH

=

1 2 PA

3 4 PA

=

2 3

3

．
∴二面角C-BF-D的正切值为

2 3

3

．

点评：本题主要考查线面垂直的判定定理和二面角的求法，考查对立体几何的基本定理的应用和空间想象能力．考查考生的综合运用能力．