Question

已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+k（x+y）+3，k为常数，且f（1）=1，f（2）=17．
（1）若t为正整数，求f（t）的解析式（已知公式：12+22+32+…+n2=

1

6

n(n+1)(2n+1)；
（2）求满足f（t）=t的所有正整数t；
（3）若t为正整数，且t≥4时，f（t）≥mt²+（4m+1）+3m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，求得k=0，由于对于x，y∈R都成立，故令x=t（t∈N*），y=1，可得f（t+1）-f（t）=3t²+9t+4，从而利用叠加法，可求f（t）的解析式；（2）对t进行分类讨论：若t∈N*，则t³+3t²-3=t?t³-t+3（t²+1）=0；若t为负整数，则f（t）=6t²-6-f（-t）=6t²-6+t³-3t²+3=t³+3t²-3；若t=0，则f（t）═t无解；（3）要使不等式恒成立，则只需m≤

t3+3t2-t-3

t2+4t+3

对t≥4，且t∈N*恒成立．

解答：解：（1）令x=y=1，f（2）=f（1）+f（1）+12+2k+3?k=0，则f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+3
对于x，y∈R都成立
令x=t（t∈N*），y=1f（t+1）=f（t）+f（1）+3t（t+3）+3?f（t+1）-f（t）=3t²+9t+4?f（2）-f（1）=3×1²+9×1+4f（3）-f（2）=3×2²+9×2+4
…f（t）=f（t-1）=3（t-1）²+9×（t-1）+4
用叠加法 f（t）-f（1）=3[1²+2²+…+（t-1）²]+9[1+2+…+（t-1）]+4+4•k…+4=3•

1

6

(t-1)•t•(2t-1)+9•

1

2

(t-1)•t+4(t-1)=t³+3t²-4
∴f（t）=t³+3t²-3（t≥2）又t=1适合上式f（t）=t³+3t²-3（t≥2）（t∈N*）
（2）若t∈N*，则t³+3t²-3=t?t³-t+3（t²+1）=0?（t-1）（t+1）（t+3）=0?t₁=1，t₂=-1，t₃=-3（舍）
又令x=y=0f（0）=-3
令y=-x-3=f（x）+f（-x）+（-6x²）+3?f（x）+f（-x）=6x²-6对x∈R都成立
若t为负整数，则f（t）=6t²-6-f（-t）=6t²-6+t³-3t²+3=t³+3t²-3
由t³+3t²-3=t（t+3）（t+1）（t-1）?t₁=-3，t₂=-1，t₃=1（舍）
若t=0，则f（t）═t无解   综上，满足f（t）=t，所有整数t为1，-1，-3；
（3）要使不等式恒成立，则只需m≤

t3+3t2-t-3

t2+4t+3

对t≥4，且t∈N*恒成立
即m≤

(t+3)(t+1)(t-1)

(t+3)(t+1)

=t-1对t≥4，且t∈N*恒成立
即且m≤（t-1）_min=3
实数m最大值为3

点评：本题考查抽象函数，赋值法是最常用的方法；不等式恒成立问题，通常利用最值法，本题属于中档题．