Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线与左支交于A．B两点，若

AB

•

AF2

=0，4|

AB

|=3|

AF2

|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A．

  17

  3

• B．

  15

  3

• C．

  15

  2

• D．

  17

  2

Answer 1

分析：根据题意不妨令|AB|=3，|AF₂|=4，利用勾股定理可求得则|BF₂|=5，利用双曲线的定义可求得a=

3

2

，再利用勾股定理可得c的值，从而可求得双曲线的离心率．

解答：解：如图，由题意知，∠A=90°，
∵4|

AB

|=3|

AF2

|，不妨令|AB|=3，|AF₂|=4，则|BF₂|=5，
又由双曲线的定义得：|BF₂|-|BF₁|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₁|+|BF₁|=4-2a+5-2a=9-4a=|AB|=3，
∴a=

3

2

．
在Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²=1²+4²=17，
∵|F₁F₂|²=4c²，∴4c²=17，∴c=

17

2

．
∴双曲线的离心率e=

c

a

=

17 2

3 2

=

17

3

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，求得a与c的值是关键，属于中档题．