Question

长方体AC₁中，底面ABCD为边长为2的正方形，高AA₁为1，M、N分别是边C₁D₁与A₁D₁的中点．

(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；

(2)求梯形MNAC的面积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结A1C1，则MN是△A1C1D1的中位线， 　　于是MNA1C1． 　　又A1C1AC，∴MNAC． 　　∴M、N、A、C共面，且四边形MNAC为梯形． 　　∵Rt△AA1N≌Rt△CC1M， 　　∴AN＝CM． 　　∴梯形MNAC为等腰梯形． 　　(2)解：AN2＝A1A2＋A1N2＝1＋1＝2，AC＝，MN＝， 　　梯形的高为， 　　∴S梯形ACMN＝(AC＋MN)×h＝． 　　解析：(1)要证明一个四边形是等腰梯形，应证明：①四边形是平面图形；②有一组对边平行；③另一组对边相等． 　　(2)只需利用(1)的结论，并利用梯形的面积公式，即可得出问题的答案．