Question

设函数f（x）=

2x2+2x

x2+1

，函数g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：对于（1）有函数式化简后用换元法求值域．
对于（2）由题意可知对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，等价于f（x）的值域[0，2]是函数y=g（x）在x∈[0，1]的值域的子集．

解答：解：（1）y=

2x2+2x

x2+1

=

2(x2+1)+2x-2

x2+1

=2+

2(x-1)

x2+1

，
令x-1=t，则x=t+1，t∈[-1，0]，y=2+

2t

t2+2t+2

，
当t=0时，y=2；当t∈[-1，0），y=2+

2

t+ 2 t +2

，
由对勾函数的单调性得y∈[0，2），故函数在[0，1]上的值域是[0，2]；
（2）f（x）的值域是[0，2]，要g（x₀）=f（x₁）成立，则[0，2]⊆{y|y=g（x），x∈[0，1]}
①当a=0时，x∈[0，1]，g（x）=5x∈[0，5]，符合题意；
②当a＞0时，函数g（x）的对称轴为x=-

5

2a

＜0，故当x∈[0，1]时，函数为增函数，则g（x）的值域是[-2a，5-a]，由条件知[0，2]⊆[-2a，5-a]，∴

a＞0 -2a≤0 5-a≥2

?0＜a≤3；
③当a＜0时，函数g（x）的对称轴为x=-

5

2a

＞0．
当0＜-

5

2a

＜1，即a＜-

5

2

时，g（x）的值域是[-2a，

-8a2-25

4a

]或[5-a，

-8a2-25

4a

]，
由-2a＞0，5-a＞0知，此时不合题意；当-

5

2a

≥1，即-

5

2

≤a＜0时，g（x）的值域是[-2a，5-a]，
由[0，2]⊆[-2a，5-a]知，由-2a＞0知，此时不合题意．
综合①②③得0≤a≤3．

点评：此题（1）考查考查了有解析式选择换元法求函数值域．
此题（2）考查了等价转化思想及判断含有字母参数集合关系时分类讨论的思想．