Question

选修4-5：不等式选讲
设a，b，c为不全相等的正数，证明：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）

Answer 1

证明：2（a³+b³+c³）-[a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）]
=（a³-a²b）+（a³-a²c）+（b³-b²a）+（b³-b²c）+（c³-c²a）+（c³-c²b）
=a²（a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）
=（a-b）²（a+b）+（a-c）²（a+c）+（b-c）²（b+c）
∵a，b，c为不全相等的正数，
∴（a-b）²（a+b）+（a-c）²（a+c）+（b-c）²（b+c）＞0
∴2（a³+b³+c³）-[a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）]＞0
∴2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．
分析：利用作差法，再分组分解，即可证得结论．
点评：本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，属于中档题．