Question

【题目】已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．

（1）求圆的方程；

（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（）．（3）存在，

【解析】

（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.

（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.

（3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（1，0），计算得到答案.

（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，

所以 ，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．

故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．

（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，

整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，

由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，

即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．

（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，

l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，

由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，

所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数

使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.