Question

【题目】已知函数，，其中.

（1）求函数在的值域；

（2）用表示实数，的最大值，记函数，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）求导得到，讨论和得到函数在单调递增，计算得到答案.

（2）时，恒成立，当时，恒成立，故的零点即为函数的零点，讨论在的零点个数得到答案.

（1）

当时，，，所以

当时，，，所以

所以：当时，成立，即函数在单调递增

所以函数在的值域为，即值域为.

（2）函数的定义域为

由（1）得，函数在单调递增，

当时，，又，

所以时，恒成立，即时，无零点.

当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点

下面讨论函数在的零点个数

，所以

Ⅰ、当时，因为，

又函数在区间递减，所以

即当时，，

所以单调递减，由得：当时，递增

当时，递减

当时，，当时

又，

当时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点；

Ⅱ、当时，，由Ⅰ得：当时，，递增，

当时，，递减，所以，，

所以当时函数有2个零点

Ⅲ、当时，

，，即成立，由，

所以当时函数有1个零点

综上所述：当或时，函数有1个零点；

当或时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点.