Question

在△ABC中，内角A、B、C分别对应边长为a、b、c且a≠b，

m

=（cosA+cosB，

3

），

n

=（cosA-cosB，sinBcosB-sinAcosA）且

m

⊥

n

（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若2a+b=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合二倍角公式和两角和差的正弦公式，化简整理，即可得到C；
（Ⅱ）运用三角形的面积公式和基本不等式，即可求得最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于

m

=（cosA+cosB，

3

），

n

=（cosA-cosB，sinBcosB-sinAcosA）
且

m

⊥

n

，则

m

•

n

=0，
即有（cosA+cosB）（cosA-cosB）+

3

（sinBcosB-sinAcosA）=0，
即cos²A-cos²B+

3

2

sin2B-

3

2

sin2A=0，
即

1+cos2A

2

-

1+cos2B

2

+

3

2

sin2B-

3

2

sin2A=0，
即

3

2

sin2B-

1

2

cos2B=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A，
即有sin（2B-

π

6

）=sin（2A-

π

6

），
由于a≠b，则A≠B，
即有2B-

π

6

+2A-

π

6

=π，即A+B=

2π

3

，
则C=

π

3

；
（Ⅱ）由于2a+b=4，C=

π

3

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

ab•

3

2

=

3

4

ab=

3

8

•2a•b≤

3

8

（

2a+b

2

）²=

3

8

×（

4

2

）²=

3

2

．
当且仅当2a=b=2，取得最大值

3

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积的性质：向量垂直则数量积为0，考查二倍角公式及两角和差的正弦公式，考查三角形的面积公式及基本不等式的运用，属于中档题．