Question

已知关于x的不等式kx²-2x+6k＜0，（k＞0）
（1）若不等式解集为∅，求实数k的取值范围；
（2）若不等式的解集为集合{x|2＜x＜3}的子集，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）根据题意，得△≤0且k＞0，由此求出k的取值范围；
（2）设f（x）=kx²-2x+6k，原问题等价于△≤0或

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

，由此求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵不等式kx²-2x+6k＜0的解集为∅，
得△≤0，即4-24k²≤0；
解得k≤-

6

6

或k≥

6

6

，
又∵k＞0，∴k≥

6

6

；
∴实数k的取值范围是k≥

6

6

； …（4分）
（2）∵不等式对应的方程kx²-2x+6k=0的判别式为
△=4-24k²，
设f（x）=kx²-2x+6k，
则原问题等价于△≤0或

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

；
由△≤0，即4-24k²≤0，
解得k≤-

6

6

或k≥

6

6

，
又∵k＞0，∴k≥

6

6

；
由

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

，
即

10k-4≥0 15k-6≥0 2≤ 1 k ≤3

，
解得

2

5

≤k≤

1

2

；
综上，符合条件的k的取值范围是[

2

5

，+∞）．    …（12分）

点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，解题时应对字母系数进行分析、讨论，是中档题．