Question

（2007•杨浦区二模）已知函数f（n）=log_（n+1）（n+2）（n为正整数），若存在正整数k满足：f（1）•f（2）•f（3）…f（n）=k，那么我们将k叫做关于n的“对整数”．当n∈[1，100]时，则“对整数”的个数为

5

个．

Answer 1

分析：由题意，f（x）=log_（x+1） （x+2）=

lg(x+2)

lg(x+1)

，再计算f（1）f（2）f（3）…f（x）=log₂（x+2），根据1≤x≤100，得log₂3≤log₂（x+2）≤log₂102，从而可得“对整数”的个数．

解答：解：由题意，f（x）=log_（x+1） （x+2）=

lg(x+2)

lg(x+1)

，所以k=f（1）f（2）f（3）…f（x）=log₂（x+2）
∵1≤x≤100，∴log₂3≤log₂（x+2）≤log₂102
整数有log₂4，log₂8，log₂16，log₂32，log₂64，即2，3，4 5，6五个整数
故答案为5

点评：本题的考点排列、组合的实际应用，主要考查新定义，考查对数运算，属于基础题．