Question

关于函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，有下列结论：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是单调递减函数；
③函数f（x）的最小值为lg2；
④在区间（0，1）上，函数f（x）是单调递减函数，其中正确的是

 

．

Answer 1

分析：函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是一个对数型函数，其内层函数是一个偶函数，故研究这个函数的性质，故只研究x＞0时的情况．观察四个选项发现①是关于奇偶性的，②③④与单调性有关，故探究方向出现．

解答：解：观察知函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是一个对数型函数，其内层函数是一个偶函数，故函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是偶函数，其图象关于y轴对称，令x＞0，则f（x）=lg

x 2+1

x

=lg（x+

1

x

）≥lg2且在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．下研究四个选项的正确性；'
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称是正确的，因为y=f（x）是偶函数．
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是单调递减函数是不正确的，由偶函数的性质知f（x）在（-∞，0）上不是单调函数．
③函数f（x）的最小值为lg2是正确的；由偶函数的性质及上面的探究知，函数f（x）的最小值为lg2；
④在区间（0，1）上，函数f（x）是单调递减函数是正确的．
综上知①③④是正确的．
故应填①③④．

点评：本考点是对数型函数的性质，考查了对数型函数的奇偶性与单调性最小值等基本问题，题型设计得当，考查全面．