Question

【题目】已知函数f（x）=x3+x2f'（1）．
（1）求f'（1）和函数x的极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+x2f'（1），求导f′（x）=3x2+2f'（1）x，

则f′（1）=3+2f'（1），解得：f′（1）=﹣3，

∴f（x）=x3﹣3x2，f′（x）=3x（x﹣2），

令f′（x）=0，解得：x=0，x=2，

由x，f′（x），f（x）变化，

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	极大值0	↓	极小值﹣4	↑

则当x=0，f（x）取极大值0，当x=2时，取极小值﹣4

（2）解：由题意可知：y=a与f（x）有三个不同的交点，

由函数图象可知：

∴﹣4＜a＜0

（3）解：设切点（x0，x03﹣3x02），切线斜率k=3x02﹣6x0，

则切线方程y﹣（x03﹣3x02）=（3x02﹣6x0）（x﹣x0），

由切线过（0，0），则﹣x03+3x02=﹣x0（3x02﹣6x0），解得：x0=0，或x0= ，

当x0=0，切线k=0，切线方程y=0，

当x0= ，切点（ ，﹣ ），切线k=﹣ ，切线方程y=﹣ x，

直线l的方程y=0或y=﹣ x

【解析】（1）求导f′（x）=3x2+2f'（1）x，f′（1）=3+2f'（1），解得：f′（1）=﹣3，则f′（x）=3x（x﹣2），令f′（x）=0，解得：x=0，x=2，由函数的单调性与导数的关系，即可求得f（x）的极值；（2）由题意可知：y=a与f（x）有三个不同的交点，利用函数的图象即可求得实数a的取值范围；（3）设切点（x0 ， x03﹣3x02），斜线斜率k=3x02﹣6x0 ， 求得切线方程，由函数过（0，0），即可求得x0 ， 即可求得直线l的方程．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．