Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为，且过点(2，)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．

Answer 1

（1）＝1（2）

(1)由已知，e＝＝，所以＝＝1－e²＝，所以a²＝2b².
所以C：＝1，即x²＋2y²＝2b².
因为椭圆C过点(2，)，代入椭圆方程得b²＝4，所以a²＝8.
所以椭圆C的标准方程为＝1.
(2)证明：由(1)知椭圆的焦点坐标为F₁(－2，0)，F₂(2，0)．
根据题意，可设直线MN的方程为y＝k(x＋2)，
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y＝－(x－2)．
设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．
由方程组消去y得(2k²＋1)x²＋8k²x＋8k²－8＝0.
则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
所以|MN|＝＝.同理可得|PQ|＝.
所以