Question

四面体A-BCD的棱长均为a，E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．

解答：解：由题意可得四面体A-BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，
故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．
设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，AF=

3

=CE，KF=

1

2

CE=

3

2

，KE=

1

2

BE=

3

2

，
∴AK=

AE2+KE2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

． 
△AKF中，由余弦定理可得 cos∠AFK=

AF2+FK2 -AK2

2AF•FK

=

3+ 3 4 - 7 4

2× 3 ×  3 2

=

2

3

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．